Лучше: в лотке.
К сожалению, в нашей системе регистрации изменить псевдоним невозможно.
Да, это корректное сочетание.
Корректно: рисунок "в елочку".
Оба варианта - за рамками литературного языка. В связи с этим вопрос о правильности поставлен некорректно.
Использовать кавычки не нужно.